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FFT乗算

FFT乗算原理の確認

最終更新日:2006/11/29 見直し

●概要

 FFTは、にわかに実現するのは困難なので、原理通りのDFTで実際に確認を行った。2要素同士の乗算で確認した。

 回転子は予めテーブル化してある(下表)。但し、N = 4 なので、値は単純となっている。超簡単な複素構造体と、複素乗算関数を作成し、確認した。

DFT 回転子行列

1 1 1 1
1 -j -1 j
1 -1 1 -1
1 j -1 -j

IDFT 回転子行列

1 1 1 1
1 j -1 -j
1 -1 1 -1
1 -j -1 j

表で、j は虚数単位(一応電気出身なので、どうしても j を使ってしまう)

●結果

 4要素で、後半を0にして、線形化している。

○例1:11 * 11

・10進数とすれば、そのまま、11 * 11 = 121 となり、正しい。

・100進数とすれば、0101 * 0101 の乗算になり、結果を2桁にすれば、

 010201 となり、正しい。

○例2:1111 * 1111


・100進数だとすれば、1111 * 1111 となる。結果を100で規格化すれば、

 末尾 121 → 21とキャリーが1
  真中 242 → 242 + 1 なので、43とキャリーが2
  先頭 121 → 121 + 2 なので、23 とキャリーが1

結局、1234321となり、正しい。

・1000進数と思えば、011011 * 011011 となり、キャリーはないので、

 そのまま 121242121 が回答となる

○例3:999999 * 999999

・1000進数とすれば、999999 * 999999 となる。結果を1000で規格化すれば、

末尾  998001 → 001とキャリーが998
真中 1996002 → 1996002 + 998 = 1997000なので、000とキャリーが1997
先頭 998001 → 998001 + 1997 = 999998なので、998とキャリーが999

結局、999998000001 となり、正しい。

・10000000進数とすれば、0000999|0000999 * 0000999|0000999 の乗算となり、そのままが解答となる。つまり、 結果の桁を7桁にすれば、キャリーはなく、

 0998001|1996002|0998001 となり、正しい。

●判断

 入力に矛盾がなければ(要素がN未満)、N進数と勝手に思えば良い。桁上げは一般的に生じるとし、常に処理する必要がある。以上、どうやらDFT乗算は本当らしい。

●コード例

 上記試験に使用した、つたないコードを紹介する。

Structure WW     '複素構造体
   Public Re As Double
   Public Im As Double

   Sub New(ByVal R As Double, ByVal I As Double)
      Me.Re = R
      Me.Im = I
   End Sub
End Structure

Dim A(), B(), C() As Double     '入力データ
Dim FA(), FB(), FC() As WW  'フーリエ変換
'回転子行列(順)
Dim FW(,) As WW = { _
{New WW(1, 0), New WW(1, 0), New WW(1, 0), New WW(1, 0)} _
, {New WW(1, 0), New WW(0, -1), New WW(-1, 0), New WW(0, 1)} _
, {New WW(1, 0), New WW(-1, 0), New WW(1, 0), New WW(-1, 0)} _
, {New WW(1, 0), New WW(0, 1), New WW(-1, 0), New WW(0, -1)}}
'回転子行列(逆)
Dim RW(,) As WW = { _
{New WW(1, 0), New WW(1, 0), New WW(1, 0), New WW(1, 0)} _
, {New WW(1, 0), New WW(0, 1), New WW(-1, 0), New WW(0, -1)} _
, {New WW(1, 0), New WW(-1, 0), New WW(1, 0), New WW(-1, 0)} _
, {New WW(1, 0), New WW(0, -1), New WW(-1, 0), New WW(0, 1)}}

Private Sub btnGo_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles btnGo.Click
   Dim i, j As Integer
   Dim W As WW
   ReDim A(3)
   ReDim B(3)
   ReDim C(3)
   A(0) = txtA0.Text
   A(1) = txtA1.Text
   B(0) = txtB0.Text
   B(1) = txtB1.Text
   ReDim FA(3)
   ReDim FB(3)
   ReDim FC(3)
   '被乗数のDFT
   For i = 0 To 3
      For j = 0 To 3
         W = ComplexM(New WW(A(j), 0), FW(i, j))    'データの虚数部は0
         FA(i).Re = FA(i).Re + W.Re
         FA(i).Im = FA(i).Im + W.Im
      Next
   Next
  '乗数のDFT
   For i = 0 To 3
      For j = 0 To 3
         W = ComplexM(New WW(B(j), 0), FW(i, j))   'データの虚数部は0
         FB(i).Re = FB(i).Re + W.Re
         FB(i).Im = FB(i).Im + W.Im
      Next
   Next
   'コンボリューション(畳み込み)
   For i = 0 To 3
      FC(i) = ComplexM(FA(i), FB(i))   'ここがミソ
   Next
   '結果のIDFT
   For i = 0 To 3
      For j = 0 To 3
         W = ComplexM(FC(j), RW(i, j))
         C(i) = C(i) + W.Re                 '結果は実数部のみ採用
      Next
      C(i) = C(i) / 4
   Next
   txtc0.Text = C(0).ToString
   txtc1.Text = C(1).ToString
   txtc2.Text = C(2).ToString
   txtc3.Text = C(3).ToString
End Sub

'複素乗算
Private Function ComplexM(ByVal A As WW, ByVal B As WW) As WW
   ComplexM.Re = A.Re * B.Re - A.Im * B.Im
   ComplexM.Im = A.Re * B.Im + B.Re * A.Im
End Function