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ソフトウェア実験室 |
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ネイピア数 |
| 最終更新：2007/02/10 一部修正 |
既に、ネイピア数については、T8117 長いネイピア数 にて、高精度に求めているが、e の定義に基づいて値を求めてみた。
多倍長で行った例は、ネイピア数2 で紹介している。
●定義
オイラーによれば、ネイピア数(自然対数の底)は、
e = lim(1 + 1/n)n [n → ∞]
である。よく見ると、1に限りなく近い数を、無限回掛け合わせることで得られる。真に、微妙なところで決まる神秘的な数である。
●実験内容
n を128 から、億まで変えてみて、収束程度を観察する。
●実験方法
ここでは、多倍長演算ではなく、ネイティブな浮動小数点で演算する。n、計算値、誤差などをリストする。開始のNと、試技回数を指定して、N は、前回の倍とする。
今回は、Double で演算するため、1/N をきれいな二進数にすべく、N = 2k となるようにしている。これであれば、1/64 = [0.000001]二進 と、誤差のない値となるので、少しは正しくでる。
●結果
N = 268,435,546 まで計算
●考察
グラフから、結構早く収束している。N = 268,435,546 では、小数点以下8桁まで正しい。また、誤差は最後まで連続的の減少しているので、演算誤差はこの範囲では破綻していないことが伺える。
より真値の近い値を望むなら、本法ではなく、別の方法が望ましい。
●実験のコード
演算は、Double で行う。冪乗演算は、自分で掛け合わしている。
frgPは結果表示のための自製グリッド
誤差の%をグラフにもしている。
Dim Ns As Integer = 64
'開始のN
Dim Cnt As Integer = 22
'実験回数
Dim Nep As Double = 2.718281828459 'ここでの真値
Dim i, k, N As Integer
Dim S As Single
Dim P, Q, Er As Double
Me.Cursor = Cursors.WaitCursor
frgP.SetGridConstruction(4, Cnt + 1, 0, 1)
frgP.RowHeader(0) = New String() {"N", "計算値", "誤差[%]", "-0.5%
0%"} frgP.ColWidth(3) = 100
N = Ns
For i = 1 To Cnt
N = N * 2
P = 1 + 1 / N
Q = P
For k = 1 To N - 1
P = P * Q
Next
frgP.BeginUpdate()
frgP(0, i) = N
frgP(1, i) = P
Er = (P - Nep) / Nep * 100
frgP(2, i) = Er
S = 1.0 + Er/0.5
If S <= 0.99 Then S = 0.99
frgP(3, i) = New FreeGrid.CellStyle.Bar(S, 1.0, 1, Color.Red)
'グラフ表示
frgP.EndUpdate()
frgP.TopRow = i
Application.DoEvents()
Next
Me.Cursor = Cursors.Default