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ソフトウェア実験室 |
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級数の精度 |
| 最終更新：2006/01/27 新規 |
級数で展開された関数の近似値がどの程度確保できるか、確認してみた。関数は、sinで、sin(30度) = 0.5 を確認する。
●原理
○sin展開式
sin(x) = ∑(-1)k * x(2*k+1) /(2 * k + 1)! [k = 0 to ∞]
○ラジアン
度をラジアンに変換する。R = D * π / 180
●方法
自作のUltraMathにて展開式を実際に演算し、値を確認する。1000桁まで求める。
●結果
○精度がでない！
計算結果を1000桁印刷したが、どうも半分ぐらいしか出ていない。やはり、級数には限界があるのか？
色々調べた結果、なんとラジアンに変換する時の π の精度が原因であった。上記の π は、500桁のものであった。下記が、定数 π の精度を指定して生成する文である。π は予め、10000桁求めて、文字列で持っている。
Friend Shared umPI As New UltraLong(strUPI.Substring(0, 500))
○ π の精度を1010桁で実験
Friend Shared umPI As New UltraLong(strUPI.Substring(0, 1010))
見事に、1000桁まで精度が出た。表示では、1000桁以降に有限の値(誤差)があることを示している。当然、絶対に、0.5 にはならない。
●考察
級数展開は、正直であり、信頼できる。但し、定数の精度もキッチリ出しておかないといけない。当たり前であるが、少し、感動した。逆に、筆者が求めたπ も正確だと言うことになる。
蛇足であるが、定数を常に最大の精度で使用すると、演算時間が幾何級数的に延びることになる。とくに乗算など。ループの中で定数を使う時は、最適な精度にして置くのが良い。